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为数学而疯的康托尔

时间:2018-01-12 栏目:美女 作者:52数学网

“数学史”上的今天:1918年1月6日,德国数学家,集合论的创立人康托尔逝世。

“数学史”上的今天

1918年1月6日,德国数学家,集合论的创立人康托尔逝世。


一、 康托尔的生平

康托尔曾就学于苏黎世大学、哥廷根大学和法兰克福大学。1863年,他父亲突然病逝,为此康托尔回到了柏林,在柏林大学重新开始学习。在那里,他从当时的几位数学大师,魏尔斯特拉斯、库默尔和克罗内克那里学到了不少东西。


最初他父亲并不希望他献身于纯粹科学,而是力促他学工。但是,康托尔越来越多地受到数学的吸引。1862年,年轻的康托尔做出了准备献身数学的决定。尽管他父亲对他的这一选择是否明智曾表示怀疑,但仍以极大的热情支持儿子的事业。同时还提醒康托尔要广泛学习各科知识,包括文学、音乐和绘画等。


年轻的康托尔在27岁的时候,就在数学上表现出优秀的数学天赋,他用有理数列构造实数R,在数学发展历史上,这是“前无古人”的创意。无穷理论的研究,在当时一直是一个世界性的难题,由于研究无穷时往往推出一些合乎逻辑的但又荒谬的结果,许多大数学家唯恐陷进去而采取退避三舍的态度。


从1874年开始,康托尔向神秘的“无穷”宣战,他靠着辛勤的汗水,成功地证明了一条直线上的点能够和一个平面上的点一一对应,也能和空间中的点一一对应。这样看起来,1 厘米长的线段内的点与太平洋面上的点,以及整个地球内部的点都“一样多”。后来几年,康托尔对这类“无穷集合”问题发表了一系列文章,通过严格证明得出了许多惊人的结论。


比如著名的康托尔三分集:已知一条长度为1个单位的线(蓝色),移走这条线中间的三分之一。再移走剩下部分的三分之一,无限重复这样的过程。最后剩下的就是康托尔三分集(也叫康托尔的梳子)。它有一个惊人的属性:无论走多远,总能够从剩下的点中找到两点,它们之间的距离可以是从0到1之间的任何一个数,比如下图中的长度为0.4单位的线。


康托尔的梳子


然而,康托尔在学术上的成就,在最开始,并没有得到同行的认可,尤其是当时欧洲最杰出的数学家之一,也是他的老师——克罗内克,早已流露过不满。克罗内克是一个有穷论者,竭力反对康托尔的“超穷数”的观点。


在柏林,克罗内克几乎有无限的权力。他不仅对康托尔的工作进行粗暴的攻击,还一再阻止康托尔论文的发表。由于他的攻击,还使数学家们对康托尔的工作总抱着怀疑的态度,致使39岁的康托尔患了抑郁症。


在康托尔的余生中,由于事业和家庭生活两方面的打击,他多次遭受不同程度的精神崩溃,不得不一次次出入精神病院。然而,这位伟大的数学家并没有因为自己患病而放弃对数学的探索,在精神状态好的时候,他完成了关于无穷理论的最好的那部分工作。


二、康托尔的贡献和影响

康托尔对数学的贡献是集合论和超穷数理论。


两千多年来,科学家们接触到无穷,却又无力去把握和认识它,这的确是向人类提出的尖锐挑战。康托尔以其思维之独特,想象力之丰富,方法之新颖绘制了一幅人类智慧的精品——集合论和超穷数理论,令19、20世纪之交的整个数学界、甚至哲学界感到震惊。可以毫不夸张地讲,“关于数学无穷的革命几乎是由他一个人独立完成的。”


罗素在某个时期曾说过,“在数学上,我主要受惠于G.康托尔和G.皮亚诺教授。”(《数学的原理》)


希尔伯特高度赞誉康托尔的集合论“是数学天才最优秀的作品”,“是人类纯粹智力活动的最高成就之一”,“是这个时代所能夸耀的最巨大的工作”。在1900年第二届国际数学家大会上,希尔伯特高度评价了康托尔工作的重要性,并把康托尔的“连续统假设”列入20世纪初有待解决的23个重要数学问题之首。

罗素
希尔伯特

当康托尔的朴素集合论出现一系列悖论时,克罗内克的后继者布劳威尔等人借此大做文章,希尔伯特用坚定的语言向他的同代人宣布:“没有任何人能将我们从康托尔所创造的伊甸园中驱赶出来”。


康托尔在数学上的功绩,以及敢于向无穷大冒险迈进的精神,不仅在当时影响引起巨大的反响,为如今数学理论的发展,做出了不朽的贡献。


参考文献:

1. 为数学而疯的康托尔

2. 数学家的故事.孙剑.长江文艺出版社

3. 百度百科

4. 历史上的今天


变形24点

本期题目:

用加、减、乘、除和括号,将1918年1月6日”中的4个数:1,6,18,19进行计算,得到23。

上期答案:9×5-19+1=27

【“数学史”上的今天】栏目简介

本栏目以重大历史事件为线索,介绍数学和数学家的故事,数学与各种文化的关系等。让学生了解数学发展的脉络,认识到数学并不是孤立的学科,而是联系生活的方方面面的。另外,以历史事件发生的日期,算变形24点,提高学生的心算能力。

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